Question

已知无穷数列an满足:a1=1/2015……一道数学高考证明题的BUG？

已知无穷数列｛An｝满足A1＝1/2015,An^2-2An-2A（n-1）＝0（n≥2）证明：1/（2-A1）+1/（2-A2）+...+1/（2-An）＜2015 标准解答：1/[2-a(1)]+1/a(1)-1/a(n)=2015+[1/[2-a(1)]-1/(an)] 2-a(1)>1>a(n)，1/[2-a(1)]-1/(an)<0，所以1/[2a(1)]+...+1/[2-a(n)]<2015。 但是因为a(n)的范围在0到0.5，an为无穷数列，显然不等式左边可以到无穷大。所以这样证明是什么地方有问题呢？

Answer 1

你好，请采纳！
这道题有巧法解的。
（一）a(n)^2=2[a(n)-a(n-1)]
因为a(n)^2恒大于等于0，所以a(n)大于等于a(n-1)。
若a(n)=a(n-1)，a(n)=0，不符合题意，所以a(n)>a(n-1)，单调递增。

（二）（1）[a(n)-1]^2=1-2a(n-1)，恒大于等于0，a(n-1)小于等于1/2，即a(n)小于等于1/2，若a(n-1)=1/2，a(n)=1，不符合a(n)小于等于1/2，所以a(n)<1/2，又因为是单调递增，所以a(n)大于等于1/2015，所以0＜an＜1/2。

（2）1/[2-a(n)]=a(n)/[2a(n)-a(n)^2]=a(n)/[2a(n-1)]=a(n)^2/[2a(n)a(n-1)]=[2a(n)-2a(n-1)]/[2a(n)a(n-1)]=1/a(n-1)-1/a(n)
1/[2-a(1)]+...+1/[2-a(n)]=1/[2-a(1)]+1/a(1)-1/a(n)
代入a(1)=1/2015，a(n)<1/2。
1/[2-a(1)]+1/a(1)-1/a(n)=2015+[1/[2-a(1)]-1/(an)]
2-a(1)>1>a(n)，1/[2-a(1)]-1/(an)<0，所以1/[2-a(1)]+...+1/[2-a(n)]<2015。