Question

奥数题（同余的概念及性质）

1、 270除以自然数n的余数是15,186除以自然数n余数是16，那么自然数n应该是多少？

2、 999+2×999+3×999+……+999x999 除以13所得的余数是多少？

3、 有三个吉利数168/518/666，用它们分别除以同一个自然数，168余（a+5），518余（a+7），666余（a+10），求这个自然数

4、 如果2005和1783除以某一个自然数n时，他们的余数分别是3和2，那么n是多少？

5、 今天是星期五，再过 365的365次方 天是星期几？

6、 203×203×203×203×……×203（2005个203）颗子弹装入盒子，每盒装6颗，最后余下多少颗？

Answer 1

1、n=17
解：由题知，（186-16）能被N整除，即170能被N整除。也即N是170的因数。把170分解，为2×5×17。 又因为N>16（因为余数为16） 所以N只能是17、34、85中的一个。带入“（270-15）能被N整除”验算，知道N=17

2、余11
解：数列求和公式得：原式=（500×999）×999.因为999/13余11，上式可以看成是“共有（500×999）个999”，因为每个999都余11，所以一共余了“（500×999）个11”，也是余数的和是500×999×11.对此重复上述步骤，简化为“500×11×11”，继续简化，为6×11×11=726，726/13，算得余11.

3、29
解：由题知：（168-5）（518-7）（666-10）三数同余。根据“如果a、b除以c，余数相同，则（a-b）一定能被c整除”，则容易得出c为29

4、13
解：（2005-1）=2004与1783同余。同上题，（2004-1783）=221能被N整除。由于221=13×17，则n只能是13或17中的一个。验证知n=13

5、星期六
解：因为“两个数的积除以a的余数，等于这两个数分别处以a的余数的积”。
365/7余1，所以365的平方/7=1×1=1.也即不管多少个365相乘，除以7的余数始终是1。所以星期五+1=星期六

6、5颗
解：和上题同理。203/6余5，所以203的2005次方除以6的余数为5的2005次方，也就是25的1002次方乘以5。而25除以6的余数为1，所以（25的1002次方乘以5）除以6的余数是5.

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本来想直接说的，太麻烦了。。。还是定理好用。

PS：这不可能是奥数题吧？？

Answer 2

奥数题（同余的概念及性质）
以下用==指同余号，gcd()有时省作().
解答力求简洁，其中应用了同余的可乘性与可加性。

1、 270除以自然数n的余数是15,186除以自然数n余数是16，那么自然数n应该是多少？
解：n>16
270-15==186-16==0 mod n
故n|(270-15,186-16)=(255,170)=85
故n=17或85.

2、 999+2×999+3×999+……+999x999 除以13所得的余数是多少？
解：所求==999*(1+2+...+999) mod 13
==999*999*500==-2*-2*500=-2*-1000==-2*1==11
所求=11.
注：7*11*13=1001,需熟记和应用。

3、 有三个吉利数168/518/666，用它们分别除以同一个自然数，168余（a+5），518余（a+7），666余（a+10），求这个自然数
解：题意即a==168-5==518-7==666-10 mod m,求m
163==511==656 mod m
163-511==511-656==0 mod m
m|(348,145)=(145,58)=29,易得m=29

4、 如果2005和1783除以某一个自然数n时，他们的余数分别是3和2，那么n是多少？
解：2005-3==1783-2==0 mod n
故n|(2002,1781)=(2*7*11*13,221)=13,易得n=13

5、 今天是星期五，再过 365的365次方 天是星期几？
解：t=5 mod 7
365^365 mod 7
==1^365==1
故t+365^365==6 mod 7.
故答案为星期六。

6、 203×203×203×203×……×203（2005个203）颗子弹装入盒子，每盒装6颗，最后余下多少？
解：203^2005 mod 6==(-1)^2005==-1==5
故余下5颗。

Answer 3

1：255÷n和170÷n应该都是整数，所以n=17或85.

2：余数每13个一循环分别为11，9，7，5，3，1，12，10，8，6，4，2，0
所以加起来是78，一共有77个循环少两个。所以和是78×77-2=6004，除以
13余数是11。

3：除的数大于等于12否则不可能余数是10+a，且这个数必是奇数。且易知能被
518-168-2除尽，被145除尽，被493除尽。所以答案是29.

4：被2005-1783-1除尽所以知n=13

5：（7×52+1）的7×52+1次方=（A+1）×(A+1)×（A+1）×……展开后有A
的地方都能被7除尽，所以除以7余下1.是星期六。

6：同理可知原式=（A+5）×(A+5)×（A+5）×……同余5的2005次方同余
（-1）的2005次方，所以余数是5，剩余5颗。
1

Answer 4

用数学语言表达如下：

1. 由已知得
270-15≡186-16≡0 (mod n)
即255≡170≡0 (mod n)
3×5×17≡2×5×17≡0 (mod n)
故n是255和170的公约数，可能是17或85

2.999+2×999+3×999+……+999x999
=999×(1+2+...+999)
=999×999×500
根据同余的可乘性知
若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）
999≡11 (mod 13)
500≡6 (mod 13)
故999×999×500≡11×11×6=11×66=11×1=11(mod 13)
余数是11

3. 设这个自然数为n，则
168-5≡518-7≡666-10≡a (mod n)
163≡511≡656≡a (mod n)
故511-163≡656-163≡656-511≡0 (mod n)
即348≡493≡145≡0 (mod n)
12×29≡17×29≡5×29≡0 (mod n)
故n是348，493，145的公约数，n=29

4. 2005-3≡1783-2≡0 (mod n)
即2002≡1781≡0 (mod n)
13×154≡13×137≡0 (mod n) ,(154，137)=1 ），（记号（154，137）表示154与137的最大公约数）
故n是2002，1781的公约数，n=13

5. 因为365≡1 (mod 7)
所以由同余的可乘性，若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）知
365^365≡1^365 ≡1(mod 7)
是星期六

6. 因为203≡5(mod 6)
所以由同余的可乘性知
203×203×203×203×……×203≡5×5×...×5≡5×25×25×...×25≡5×1×1×...×1≡5 (mod 6)
最后余下5颗

Answer 5

1、就是求255和170的公约数，公约数有5、17、85，根据题目n是17或85

2、999+2×999+3×999+……+999x999=500×999
999除以13余11,500除以13余6
500×999除以13余数为6×11=66，再继续除以13余1。

3、答案太多（a的不确定性）

4、2002和1781的公约数，公约数为13，n是13。

5、365除以7余1，365的365次方除以7余1，是星期六。

6、203除以6余5
203×203×203×203×……×203（2005个203）除以6余
5×5×5×5×……×5（2005个5）
=5×25×25×25×……×25（1002个5）
25除以6余1
5×25×25×25×……×25（1002个5）除以6余5
（这题也可以看成余-1，203×203×203×203×……×203（2005个203）除以6也余-1，余5）