Question

数学高中数列

Answer 1

你好
(1)设bn=1/Sn，数列{bn}的前n项和为Tn
则由题意，Tn=2n/(n+1)
所以bn=Tn-T(n-1)=2n/(n+1)-2(n-1)/n=2/n(n+1)
所以Sn=n(n+1)/2
所以an=Sn-S(n-1)=n
(2)f(x)=x+2x²+……+nx^n
f(1/2)=1/2+2*(1/2)^2+……+n(1/2)^n ①
1/2f(1/2)=(1/2)^2+2+(1/2)^3+……+(n-1)(1/2)^n+n*(1/2)^(n+1) ②
①-②得1/2f(1/2)=1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+……+(1/2)^n-n*(1/2)^(n+1)
=1/2(1-1/2^n)/(1-1/2)-n*(1/2)^(n+1)
=1-(1/2)^n-n*(1/2)^(n+1)
得到f(1/2)=2-2^(1-n)-n*(1/2)^n＜2
得证