Question

求微分方程的通解

求微分方程的通解y''-9y'+20y=e^3x+x+2

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Answer 1

对应的齐次方程的特征方程为：
s^2-9s+20=0
因式分 (s-4)(s-5)=0
两个根为： s1=4 s2=5
齐次方程的通解
y1=ae^(4x)+be^(5x)

非奇方程(1)的特
y* =1/2*e^(3x)+1/20*x+49/40
于是通解为：
y=y1+y* =ae^(4x)+be^(5x)+1/2*e^(3x)+1/20*x+49/400

追问

非齐方程的特解怎么求的啊？

追答

通解=非齐次方程特解+齐次方程通解

对二阶常系数线性非齐次微分方程形式

ay''+by'+cy=p(x)

的特解y*具有形式

y*=(x^k)* Q(x)*e^(αx)

其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根（上文有提），依次取0,1或2.将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。

简单点：比如y''-9y'+20y=e^3x+x+2

可以设y*=a*e^3x+bx+c带入可得a=1/2,b=1/20,c=49/400

Answer 2

Answer 3