Question

对于方程 x1+x2+x3+x4 = 30，有多少满足x1>=2，x2>=0，x3>=-5，x4>=8，的整数解？

Answer 1

当x1=2，x2=0，x3=-5，x4=8时，
30-（x1+x2+x3+x4）=30-（2+0+（-5）+8)=25，
所以相当于把25个1分割成4部分，每部分至少有0个1。
若4部分都至少有1，则为C(22，3)=1540；
若3部分都至少有1，剩余1部分为0，则为C(4，3)×C(23，2)=1012；
若2部分都至少有1，剩余2部分为0，则为C(4，2)×C(24，1)=144；
若1部分至少有1，剩3部分为0，则为C(4，3)×C(25，0)=4。
总计1540+2012+144+4=3700种整数解。

追问

若4部分都至少有1，问什么是 C(22,3) 啊，谢谢，书上的答案是：
稍加调整改写原方程如下：(x1 - 1) + (x2 + 1) + (x3 + 6) + (x4 - 7) = 29。相当于29个1分成4组(28个空挑3个)，有C(28,3)=3276组解。
答案我看不懂，我的理解是25个1分成4组，那么就有4的25次方种情况，我的答案是：4的25次方，麻烦帮我解答一下，谢谢！

追答

嗯，书上的解法是对的。
这是插空法，把29个1分成4份，要求每份都至少有1，这时就用插空法。
例如下面的10个1和中间的9个空（用-表示），分成3份，每份都至少有个1：
1-1-1-1-1-1-1-1-1-1，
在-上面随便插2个+，把它分成3分，可以分成C(9，2)=36种，例如：
（1）+（1）+（1-1-1-1-1-1-1-1），
或（1）+（1-1）+（1-1-1-1-1-1-1），等等。

追问

插空法，我理解了，谢谢，请问我理解的答案是4^25，这个想法错在哪里了？

Answer 2

复制之前的“最佳答案”，并做以更正！！
当x1=2，x2=0，x3=-5，x4=8时，
30-（x1+x2+x3+x4）=30-（2+0+（-5）+8)=25，
所以相当于把25个1分割成4部分，每部分至少有0个1。
分类讨论：仍然是隔板法（也叫插空法）。25个1，中间共有24个空！
若4部分都至少有1，则为C(24，3)=2024；
若3部分都至少有1，剩余1部分为0，则为C(4，3)×C(24，2)=1104；
若2部分都至少有1，剩余2部分为0，则为C(4，2)×C(24，1)=144；
若1部分至少有1，剩3部分为0，则为C(4，1)×C(24，0)=4。
总计2024+1104+144+4=3276种整数解。
这种解法更直观，更便于理解。书上的解法有点绕~