Question

如果极限x→+∞lim[f(x)/x]=a存在，且极限 x→+∞lim[f(x)-ax]=b也存在， 则曲线

如果极限x→+∞lim[f(x)/x]=a存在，且极限 x→+∞lim[f(x)-ax]=b也存在，
则曲线y=f(x)有渐近线，它的方程是：y=ax+b.请给出证明，谢谢

Answer 1

斜渐近线的定义是当x→∞时,f(x)与ax-y+b=0的距离趋於0.

(x0,f(x0))到ax-y+b=0的距离d=|ax0-f(x0)+b|/√(1+a²)
x0→∞时d→0,说明|ax0-f(x0)+b|→0,而|f(x)|→0等价于f(x)→0,所以有ax0-f(x0)+b→0
即lim(x→∞)f(x)-ax=b
又根据函数极限与无穷小的关系可知,f(x)-ax=b+,ο(x)两边除以x得f(x)/x-a=b/x+ο(x)/x
两边取极限得lim(x→∞)f(x)/x-a=lim(x→∞)b/x+ο(x)/x=0
即lim(x→∞)f(x)/x=a