Question

哪位大神帮忙证明一下这个四阶行列式（范德蒙行列式），不要直接用范德蒙的结论！！

Answer 1

第2，3，4列，都减去第1列，得到

a b-a c-a d-a
1 0 0 0
a^2 b^2-a^2 c^2-a^2 d^2-a^2
a^3 b^3-a^3 c^3-a^3 d^3-a^3
分别提取第2、3、4列公因子，得到
(b-a)(c-a)(d-a)*
a 1 1 1
1 0 0 0
a^2 b+a c+a d+a
a^3 b^2+a^2+ba c^2+a^2+ca d^2+a^2+da
按第2行展开，得到
-(b-a)(c-a)(d-a)*

1 1 1
b+a c+a d+a
b^2+a^2+ba c^2+a^2+ca d^2+a^2+da
第2，3列，都减去第1列，得到
-(b-a)(c-a)(d-a)*
1 0 0
b+a c-b d-b
b^2+a^2+ba c^2-b^2+ca-ba d^2-b^2+da-ba
分别提取第2，3列公因子，得到
-(b-a)(c-a)(d-a)*(c-b)(d-b)*
1 0 0
b+a 1 1
b^2+a^2+ba a+b+c a+b+d
第3列，减去第2列，得到
-(b-a)(c-a)(d-a)*(c-b)(d-b)*
1 0 0
b+a 1 0
b^2+a^2+ba a+b+c d-c
得到下三角，主对角线相乘，得到
-(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)