Question

范德蒙行列式

题目如图~谢谢~

Answer 1

解: (1) 考虑增广矩阵的行列式
|A,b| = (a2-a1)(a3-a1)(a4-a1)(a3-a2)(a4-a2)(a4-a3)≠0
所以 r(A)=3, r(A,b)=4
所以方程组无解.

(2) 增广矩阵(A,b) =
1 k k^2 k^3
1 -k k^2 -k^3
1 k k^2 k^3
1 -k k^2 -k^3

r3-r2,r2-r1,r4-r1
1 k k^2 k^3
0 -2k 0 -2k^3
0 0 0 0
0 0 0 0

因为k≠0, 所以 r(A)=r(A,b)=2.
所以Ax=0的基础解系含 3-r(A)=1 个解向量.
所以非零解向量β1-β2是Ax=0的一个基础解系
所以方程组的通解为:
β1+c(β1-β2)=(-1,1,1)^T+c(-2,0,2)^T.

追问

有两个地方不太明白，请问：
（1）第一问中r(A)=3是如何得出的？
（2）第二问中，如果我用图片中这个做法对不对，如果不对请问错在哪里了呢？谢谢~

追答

(1) (A,b)的行列式不等于0,
所以其列向量组线性无关
所以 r(A,b)=4. r(A)=3

(2) 你那 (-3c1, 1,c1)^T 中 -3c1 怎么来的? 应该是 -c1 才对呀.

追问

(A,b)的行列式不等于0, 不是只能得出（A,b）无关从而r(A,b)=4么，怎么得出r(A)的呢？
应该是-c1，是我打错了。。。那这么化对么？

追答

(A,b)的列向量组线性无关, 那它的任意一个部分组也线性无关
所以 r(A)=3.

-c1 就对了, 表达式不是唯一的

Answer 2

范德蒙行列式怎么算？

Answer 3

Answer 4

证明：
I〉
设从上到下的四个方程为（1）~（4）式
若a1~a4两两不等，则
(2)-(1):(a2-a1)x2+(a2-a1)(a2+a1)x3=(a2-a1)(a2^2+a1^2+a1*a2)
因为a1不等于a2，所以化简为x2+(a1+a2)x3=a1^2+a1*a2+a2^2 (5)
同理可得：x2+(a1+a3)x3=a1^2+a1*a3+a3^2 (6)
x2+(a1+a4)x3=a1^2+a1*a4+a4^2 (7)
再(6)-(5): (a3-a2)x3=(a3-a2)(a1+a2+a3)，化简：x3=a1+a2+a3
同理(7)-(5)并化简：x3=a1+a2+a4
则a3=a4，矛盾
故命题得证。
II〉
将A=(-1,1,1)^T和B=(1,1,-1)^T代入：
-1+a1+a1^2=a1^3
-1-a1+a1^2=-a1^3
解得a1=1或-1
即：
x1+x2+x3=1
x1-x2+x3=-1
方程通解为kA+(1-k)B