Question

单调递增有下界，和单调递减有上界数列存在极限吗

Answer 1

没有这种说法。

因为，单调递增的数列，必然有下界，第一项就是这个数列的下界。不一定有极限。单调递减的数列，必然有上界，第一项就是这个数列的上界。也不一定有极限。例如，an=-n这个数列，这个数列就是单调递减的数列，-1就是这个数列的上界。这个数列没有极限。单调有界定理为：

单调有界数列必有极限。具体地说：

1、若数列（xn）递增且有上界，则

2、若数列（xn）递减且有下界，则

需要注意的是：单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性，如何求极限需用其他方法。

扩展资料：

单调有界定理的应用：

1、单调有界定理是通过确界原理来证明的，即通过确界原理知道{xn}有上（下）确界α，再证明{xn}收敛于α。

2、事实上，单调有界定理与确界原理等价，既可以由确界原理得到单调有界定理，也可以由单调有界定理得到确界原理。

3、数列从某一项开始单调有界的话，结论依然成立，这是因为增加或去掉数列有限项不改变数列的极限。

Answer 2

单调递增的数列，必然有下界，第一项就是这个数列的下界。所以对于单调递增数列而言，说它有下界等于没说。
那么单调递增有下界的数列是否一定有极限。
其实就是在说，单调递增数列是否一定有极限。当然不一定有。
例如an=n，这个数列就是单调递增的数列，1就是这个数列的下界。这个数列没有极限（极限∞是极限不存在的一种）。
单调递减的数列，必然有上界，第一项就是这个数列的上界。所以对于单调递减数列而言，说它有上界等于没说。
那么单调递减有上界的数列是否一定有极限。
其实就是在说，单调递减数列是否一定有极限。当然不一定有。
例如an=-n这个数列，这个数列就是单调递减的数列，-1就是这个数列的上界。这个数列没有极限。

Answer 3

单调有界数列必有极限（单增，有上界；单减，有下界）