Question

单调递增数列为什么极限存在

Answer 1

没有这种说法。
因为，单调递增的数列，必然有下界，第一项就是这个数列的下界。不一定有极限。单调递减的数列，必然有上界，第一项就是这个数列的上界。也不一定有极限。例如，an=-n这个数列，这个数列就是单调递减的数列，-1就是这个数列的上界。这个数列没有极限。单调有界定理为：单调有界数列必有极限。
事实上，单调有界定理与确界原理等价，既可以由确界原理得到单调有界定理，也可以由单调有界定理得到确界原理。
数列从某一项开始单调有界的话，结论依然成立，这是因为增加或去掉数列有限项不改变数列的极限。