Question

一道极限题

Answer 1

设a（n+1）-an=b
设a（n+1）=A,
an=B
k在（0，1）内，k=N/M
N,M 是正整数，且N<M
原式=A^(N/M)-B^(N/M)=[A^(1/M)]^N-[B^(1/M)]^N
=[A^(1/M)-B^(1/M)]*{[A^(1/M)]^(N-1)+A^(1/M)]^(N-2)*B^(1/M)+……+A^(1/M)]^2*[B^(1/M)]^(N-3)+A^(1/M)]*B^(1/M)]^(N-2)+B^(1/M)]^(N-1)}
令P（N-1）=*{[A^(1/M)]^(N-1)+A^(1/M)]^(N-2)*B^(1/M)+……+A^(1/M)]^2*[B^(1/M)]^(N-3)+A^(1/M)]*B^(1/M)]^(N-2)+B^(1/M)]^(N-1)}
那么原式=[A^(1/M)-B^(1/M)]*P（N-1）……1式
同理
A-B=[A^(1/M)]^M-[B^(1/M)]^M=[A^(1/M)-B^(1/M)]*{[A^(1/M)]^(M-1)+A^(1/M)]^(M-2)*B^(1/M)+……+A^(1/M)]^2*[B^(1/M)]^(M-3)+A^(1/M)]*B^(1/M)]^(M-2)+B^(1/M)]^(M-1)}
令Q（M-1）=[A^(1/M)]^(M-1)+A^(1/M)]^(M-2)*B^(1/M)+……+A^(1/M)]^2*[B^(1/M)]^(M-3)+A^(1/M)]*B^(1/M)]^(M-2)+B^(1/M)]^(M-1)
那么A-B=[A^(1/M)-B^(1/M)]*Q（M-1）……2式
[A^(1/M)-B^(1/M)]=(A-B)/Q（M-1）……3式
将3式带入1式得到
原式=(A-B)*P（N-1）/Q（M-1）=b*P（N-1）/Q（M-1）
当n趋近于无穷大时
A,B都趋近于无穷大
B/A趋近于1
P（N-1）/Q(M-1)=N*[A^(N-M)]/M=0
所以原式的极限为0

Answer 2

不能确定，比如等差数列，