Question

为什么向量组中的极大线性无关组中的向量个数是一定的

Answer 1

设S是一个n维向量组，α1,α2,...αr 是S的一个部分组，如果满足(1) α1,α2,...αr 线性无关；(2) 向量组S中每一个向量均可由此部分组线性表示，那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组，或极大无关组。

最大=总向量个数，个数是一定的。

扩展资料

基本性质

（1）只含零向量的向量组没有极大无关组；

（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；

（3）极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一，但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量；

（4）齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。

（5）任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。

（6）一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。

（7）若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。

参考资料来源：百度百科-极大线性无关组

Answer 2

An可逆，r(A)=n 或 |A|≠0。

阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。
m × n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。
设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。
定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A
的秩，记作rA，或rankA或R(A)。
特别规定零矩阵的秩为零。
显然rA≤min(m,n) 易得：
若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)¹ 0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。
由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。
例1. 计算下面矩阵的秩，
而A的所有的三阶子式，或有一行为零；或有两行成比例，因而所
有的三阶子式全为零，所以rA=2。
矩阵的秩
引理 设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。
定理 矩阵的行秩，列秩，秩都相等。
定理 初等变换不改变矩阵的秩。
定理 矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。