Question

高等数学，请问怎么判断ln(x+√（x^2+1）)是奇函数还是偶函数呢？

Answer 1

n(x+√（x^2+1）)是奇函数。

首先判断定义域，是R

因为f(x)=ln(x+√(x^2+1))

所以f(-x)=ln(-x+√(x^2+1))

所以f(x)+f(-x)

=ln(x+√(x^2+1))+ln(-x+√(x^2+1))

=ln[(x+√(x^2+1))(-x+√(x^2+1))]

=ln[(x^2+1)-x^2]

=ln1

=0

所以f(-x)=-f(x)所以f(x)是奇函数。

函数的奇偶性：

奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）。

偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数）。但由单调性不能代表其奇偶性。验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。

Answer 2

解题过程如下：

f(x)=ln(x+√(x^2+1))

所以f(-x)=ln(-x+√(x^2+1))

所以f(x)+f(-x)

=ln(x+√(x^2+1))+ln(-x+√(x^2+1))

=ln[(x+√(x^2+1))(-x+√(x^2+1))]

=ln[(x^2+1)-x^2]

=ln1

=0

奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）= - f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数（odd function）。

1727年，年轻的瑞士数学家欧拉在提交给圣彼得堡科学院的旨在解决“反弹道问题”的一篇论文（原文为拉丁文）中，首次提出了奇、偶函数的概念。

Answer 3

简单分析一下，答案如图所示

Answer 4

如图

Answer 5

解：因为F（-x）＝Ln[-x+x^ 2（x^ 2＋1）] f（x）和f（-x）+f（x）0，所以f（+f）是非奇偶函数。