Question

一个函数一点处的一阶导数为0，二阶导数小于0，为什么不能确定这一点的某邻域是凸曲线？

即下图题目中，(A）选项为什么错了？

Answer 1

凹凸判别要判断在某区间的二阶导正负，而题中只是一点二阶导的正负，所以无法判别。

Answer 2

这是取极大值的充分条件，与凹凸性无关。

追问

二阶导数小于0就是凸函数吧？

Answer 3

在区间内的二阶导数和在一个点的二阶导数大于或者小于零是不同的，题目是在一个点的二阶导数小于零，则条件明显不够，因为在x0的δ邻域中是凸函数则在该区间内一阶导数必须单调递减，但是这个题目的已知条件只能有二阶导数的定义式以及极限的保号性推出x0的左邻域内的一阶导数大于0大于x0右邻域内的一阶导数，但是无法确定一阶导数在该邻域内是是单调递减的，而在区间内，则所有点都满足二阶导数大于或小于零，则在该区间内一阶导数必定单调递增或者递减，故而是凹的或者凸的，一个是区间一个是单个点，做题时应分清楚，综上所述选c，a错误

Answer 4

同惑

Answer 5

因为一点二阶导数<0推不出该点邻域内二阶导数都存在(就像一点一阶可导，推不出该点邻域内均可导，否则延伸下，就整个定义域可导了。结合导数定义式好理解点)，也就不能保证该邻域内二阶导数都<0，从而不能确定函数在该邻域是凸的。(若二阶导数连续则A选项正确)