Question

已知f(x)=(x-a)/lnx,其中a为实数，是否存在实数a使得对任意x∈（0，1）∪（1，+∞）有f(x)>根号x恒成立

请指教高手·1·1·

Answer 1

要使f(x)>x^(1/2)成立即（x-a)/lnx-x^(1/2)>0成立
当x∈（0，1）时lnx<0 即x-a-x^(1/2)/lnx<0
同时除以x^(1/2)得x^(1/2)-a/x^(1/2)-lnx<0 （1）
当x∈（1，+∞）时lnx>0即x^(1/2)-a/x^(1/2)-lnx>0 （2）
设g(x)=x^(1/2)-a/x^(1/2)-lnx
明显g(x)是连续的
所以要使（1）（2）同时成立当x=1时g(x)=1-a=0
即a=1

Answer 2

如果f(x)=(x-a)/lnx>x^(1/2)成立，那么
x^(1/2)-a/x^(1/2)-lnx>0恒成立，
说明g（x）=x^(1/2)-a/x^(1/2)-lnx在（0，1）∪（1，+∞）区间上为增函数，求导得到g'(x)=x^(-1/2)*[a/2x-x^(1/2)+1/2]>0恒成立。由于x^(-1/2)恒大于零，所以a/2x-x^(1/2)+1/2需要恒大于零，这是一个二元方程（a=0时候不能保证恒等于零），则Δ=1-4*a/2*1/2=1-a＜0，a＞1。而当a=1时候g'(x)在x=1处取得最小值，这时g（x）=0，但由于f（x）定义域不包括x=1，所以a=1也能使
g（x）>0在∈（0，1）∪（1，+∞）上恒成立，所以a≥1。