Question

如何证明加法交换律：任意a,b∈N,总有a+b=b+a？

Answer 1

1871年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义，其中加法交换律a+b=b+a是一条公理。因此，如果你说的交换律是指康托尔的实数系统的交换律的话，那么它是不证自明的。
如果用皮亚诺的五条公理则证明如下：
皮亚诺公理用非形式化的方法叙述如下：

Ⅰ 0是自然数；

Ⅱ 每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a'也是自然数（数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的整数（a+1）。例如，1'=2，2'=3等等。）

可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数，因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1 构成的数字系统，其中1的后继为0。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制：

Ⅲ 0不是任何自然数的后继数；

但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，其中3的后继是3。看来，我们设置的公理还不够严密。我们还得再加一条。

Ⅳ如果b、c的后继数都是自然数a，那么b = c；

最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.3），同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后一条公理。

Ⅴ 设S⊆N，且满足2个条件（i）0∈S；（ii）如果n∈S，那么n'∈S。则S是全体自然数的集合，即S=N。(这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性)

加法定义：
我们定义，加法是满足以下两种规则的运算：

Ⅰ ∀m∈N，0 +m =m；

Ⅱ ∀m，n∈N，n' +m = （n +m）'。
交换律

现证对任意的自然数n，下述命题为真：

∀自然数m,m+n=n+m。

由上一段知，对n=0命题为真。

假设对命题对n成立，则对n'

m+n'=m+(0+n)'=m+(0'+n)=m+(1+n)=(m+1)+n=m'+n=(m+n)'=(n+m)'=n'+m，命题也对。

由公理Ⅴ，即知交换律成立。