Question

有界性和最大值最小值定理如何证明？

Answer 1

证明极值定理的基本步骤为：
1.证明有界性定理.
2.寻找一个序列,它的像收敛于f的最小上界.
3.证明存在一个子序列,它收敛于定义域内的一个点.
4.用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界.
有界性定理的证明
假设函数f在区间[a,b]内没有上界.那么,根据实数的阿基米德原理,对于每一个自然数n,都存在[a,b]内的一个xn,使得f(xn) > n.这便定义了一个序列{xn}.由于[a,b]是有界的,根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理,可推出存在{xn}的一个收敛的子序列{x_{n_k}}.
把它的极限记为x.由于[a,b]是闭区间,它一定含有x.因为f在x处连续,我们知道{f(x_{n_k})}收敛于实数f(x).但对于所有的k,都有f(x_{n_k}) > nk ≥ k,这意味着{f(x_{n_k})}发散于无穷大.得出矛盾.因此,f在[a,b]内有上界.证毕.
极值定理的证明
我们现在证明函数f在区间[a,b]内有最大值.根据有界性定理,f有上界,因此,根据实数的戴德金完备性,f的最小上界M存在.我们需要寻找[a,b]内的一个d,使得M = f(d).设n为一个自然数.由于M是最小上界,M – 1/n就不是f的最小上界.因此,存在[a,b]内的dn,使得M – 1/n < f(dn).这便定义了一个序列{dn}.由于M是f的一个上界,我们便有M – 1/n < f(dn) ≤ M,对于所有的n.因此,序列{f(dn)}收敛于M.
根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理,可知存在一个子序列{d_{n_k}},它收敛于某个d,且由于[a,b]是闭区间,d位于[a,b]内.因为f在d处连续,所以序列{f(d_{n_k})}收敛于f(d).但{f(d_{n_k})}是{f(dn)}的一个子序列,收敛于M,因此M = f(d).所以,f在d处取得最小上界M.证毕.