Question

为什么求 使得(P^-1AP)为对角阵的P 时，P只要是可逆阵即可而不需正交化变成一个正交阵?

“若求可逆矩阵p, 使p^-1ap 为对角矩阵, 就不用正交单位化
若求正交矩阵, 则

对于单根特征值, 只需单位化
对于重根特征值, 先正交化, 再单位化”
为什么会有这样的区别?课本上的定理就是存在一个正交矩阵P使得p^-1ap为对角阵呀?如果不正交化，怎么成立呢?

Answer 1

首先两个定理先搞清楚:1.任意一个n节方阵可以对角化得充分必要条件条件是它有n个线性无关的特征向量。注意这个定理是对任意矩阵都成立的，包括实对称矩阵。2.任意一个实对称矩阵都存在正交矩阵使其与对角矩阵相似。现在假设A是一个实对称矩阵，它既可以作为普通矩阵用可逆矩阵与对角矩阵相似，就是你说的不用正交化，也可以用正交矩阵与对角矩阵相似。什么时候用可逆矩阵，什么时候用正交矩阵，自然看题目怎么要求的，题目如果只要求求可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵，自然就不需要正交化单位化，当然你正交化单位化找到正交矩阵也对，但这样多了好多步计算，还容易出错，多此一举还不划算。