Question

设A=如图，求一个正交矩阵P，使得P^-1AP=Λ对角阵

Answer 1

P^(-1)AP=(-1 0 0; 0 1 0; 0 0 2)为对角阵。

λE-A=λ-2  0  0，|λE-A|=λ^2(λ-2)-(λ-2)=(λ+1)(λ-1)(λ-2)，所以矩阵A的特征值为λ1=-1，λ2=1，λ3=2。

当λ1=-1时，方程组(λE-A)X=0的基础解系为X1*=(0,-1,1)^T，所以特征值λ1=-1对应的特征向量为X1*=(0,-1,1)^T，单位化得X1=(0,-√2/2,√2/2)^T。

当λ2=1时，方程组(λE-A)X=0的基础解系为X2*=(0,1,1)^T，所以特征值λ2=1对应的特征向量为X2*=(0,1,1)^T，单位化得X2=(0,√2/2,√2/2)^T。

当λ3=2时，方程组(λE-A)X=0的基础解系为X3*=(1,0,0)^T，所以特征值λ3=2对应的特征向量为X3*=(1,0,0)^T，单位化得X3=(1,0,0)^T。所以矩阵P即为所求，使得P^(-1)AP=(-1 0 0; 0 1 0; 0 0 2)为对角阵。

扩展资料：

注意事项：

矩阵相乘，必须满足矩阵A的列数与矩阵B的函数想等，或者矩阵A的行数与矩阵B的列数相等。

第一个矩阵第一行的每个数字，各自乘以第二个矩阵第一列对应位置的数字（注意这里是第二个矩阵的第一列，不是行哦），然后将乘积相加，就可以得到矩阵左上角的那个值。

也就是说结果矩阵第m行与第n列交叉位置的那个值，等于第一个矩阵第m行与第二个矩阵第n列，对应位置的每个值的乘积之和。

参考资料来源：百度百科-正交矩阵

参考资料来源：百度百科-对角阵

Answer 2

详细过程如下图

追问

增行增列 求基础解系是怎么运用的呢？

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示