Question

怎么用两边夹定理求这个极限？？

Answer 1

夹逼定理：又称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理，是判定极限存在的两个准则之一，是函数极限的定理。
定义
如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件：
当n>N0时，其中N0∈N*，有Yn≤Xn≤Zn，
{Yn}、{Zn}有相同的极限a，设-∞<a<+∞
则，数列{Xn}的极限存在，且当
n→+∞，limXn
=a。
证明：因为limYn=a，limZn=a，所以根据数列极限的定义，对于任意给定的正数ε，存在正整数N1、N2，当n>N1时
，有〡Yn-a∣﹤ε，当n>N2时，有∣Zn-a∣﹤ε，现在取N=max{No，N1，N2}，则当n>N时，∣Yn-a∣<ε、∣Zn-a∣<ε同时成立，且Yn≤Xn≤Zn，即a-ε<Yn<a+ε，a-ε<Zn<a+ε，又因为
a-ε<Yn≤Xn≤Zn<a+ε，即∣Xn-a∣<ε成立。也就是说
limXn=a
函数的夹逼定理
F(x)与G(x)在Xo连续且存在相同的极限A，即x→Xo时,
limF(x)=limG(x)=A
则若有函数f(x)在Xo的某邻域内恒有
F(x)≤f(x)≤G(x)
则当X趋近Xo,有limF(x)≤limf(x)≤limG(x)
即　A≤limf(x)≤A
故
limf(Xo)=A
简单的说：函数A>B,函数B>C，函数A的极限是X，函数C的极限也是X
，那么函数B的极限就一定是X，这个就是夹逼定理。
应用
设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a.
若存在N，使得当n>N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为a.
夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定
f(x)的极限
参考资料
百度百科—夹逼定理：https://baike.baidu.com/item/%E5%A4%B9%E9%80%BC%E5%AE%9A%E7%90%86/6800671?fr=aladdin

Answer 2

（1）因为-1<=cos(nπ/2)<=1

所以-8/(n+4)<=8cos(nπ/2)/(n+4)<=8/(n+4)
因为lim(n->∞) ±8/(n+4)=0
所以根据两边夹法则，lim(n->∞) 8cos(nπ/2)/(n+4)=0
（3）因为(1+3^n)^(1/n)<(1+2^n+3^n)^(1/n)<(2+2^n+3^n)^(1/n)
且lim(n->∞) (1+3^n)^(1/n)=lim(n->∞) e^[ln(1+3^n)/n]
=lim(n->∞) e^[(ln3*3^n)/(1+3^n)]
=lim(n->∞) e^{ln3/[(1/3)^n+1]}
=e^[ln3/(0+1)]
=3
lim(n->∞) (2+2^n+3^n)^(1/n)=lim(n->∞) e^[ln(2+2^n+3^n)/n]
=lim(n->∞) e^[(ln2*2^n+ln3*3^n)/(2+2^n+3^n)]
=lim(n->∞) e^{[ln2*(2/3)^n+ln3]/[2*(1/3)*n+(2/3)^n+1]}
=e^[(ln2*0+ln3)/(2*0+0+1)]
=3
所以根据两边夹法则，lim(n->∞) (1+2^n+3^n)^(1/n)=3

Answer 3

判定极限存在的两个准则之一，是函数极限的定理。

Answer 4

姑且认为提问者问的是这两题吧