Question

高一数学，急！！！

已知函数y=f(x),x∈R满足f(x+1)=af(x),a是不为0的实常数。
（1）若当0≤x≤1时，f(x)=x(1-x)，求函数y=f(x),x∈[0,1]的值域；
（2）在（1）的条件下，求函数y=f(x),x∈[n,n+1),n∈N的解析式；
（3）若当0＜x≤1时，f(x)=3^x,试研究函数y=f(x)在区间（0，+∞）上是否可能是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由。

Answer 1

解：

（1）f(x)=x(1-x)
= -（x-0.5)^2+0.25

因为x∈[0,1] 所以f(x)∈[0,0.25]

（2）f(x)=af(x-1)=……=a^nf(x-n)
因为x-n属于[0，1]，所以：f(x-n)=(x-n)(1+n-x)
所以：f(x)=a^n(x-n)(1+n-x).

（3）
因为f(x)=3^x
又 f(x+1)=a*f(x)=a*3^x (0<x<=1)
若f(x)递增，则：f(x+1)min>=f(x)max
所以：a>=3

所以当a>=3时 函数y=f(x)在区间（0，+∞）上为单增函数

Answer 2

也许是我理解问题= =但我认为你这道题有些地方很纠结..

解：

（1）f(x)=x(1-x)
= -（x-0.5)^2+0.25

因为x∈[0,1] 所以f(x)∈[0,0.25]

（2）有个问题..

在（1）的条件下= =那解析式不就定了么...

是我理解的问题么..

（3）
因为f(x)=3^x
又f(x+1)=3^（x+1）=3*3^x
f(x+1)=a*f(x)=a*3^x
且x>0
所以a=3

因为x>0,f(x)=3^x
所以f(x)>0
又f(x+1)=3f(x)=f(x）+2f(x)
所以函数y=f(x)在区间（0，+∞）上为单增函数

第二问也许是我理解问题，建议= =问老师..