Question

高数考研极限题

请帮我看看过程错在哪里 答案过程太省略了 另外洛必达的使用条件是上下同阶吗

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Answer 1

高数考研极限题。
1.你的做法错在第二个等号，你的每一项展开式代替，这样和差的运算是错误的。
2.答案的做法就是直接对原式使用洛必达法则，分子分母同时求导，并用到第二个重要极限定理。
3.高数极限题，用洛必达法则是没有同阶的要求的，只要分子分母同时趋于0或无穷即可以用的。

追问

那个省略了一个过程 e^a-e^b=e^a-1-(e^b-1) e^x-1 ~ x
你能把全部过程详细写一下吗？主要是分母的sinx 为什么没有了呢

追答

1、那个省略了一个过程 e^a-e^b=e^a-1-(e^b-1) e^x-1 ~ x
错误有两处：1.和差运算不能用等价，所以，是错误的。
2.不是无穷小，不能用等价。x趋于0时，t趋于1，不是无穷小。
2、主要是分母的sinx 为什么没有了呢
用的是等价无穷小代替，sinx~x。

追问

能再具体讲一下 无穷小代换 1、要求分子分母同阶替换是什么意思 2、和差运算一定不能使用等价代换吗？ 对无穷小等价代换的使用条件不太清楚 所以才会出现那种错误

Answer 2

分子分母同为无穷小或无穷大即可用洛必达，不必同阶。

追问

但是这道题用洛必达后得不出答案

追答

一开始就是0/0型，直接用洛必达法则。e的指数，直接变成指数，没有依据。

（1十x）^（1/x）→e
x换成2x
（1十2x）^（1/2x）→e
分子e-e=0，分母x→0
0/0型。

追问

基础薄弱 需要详细过程

追答

（1十x）^（1/x）
=e^ln（1十x）/x
求导= e^ln（1十x）/x.[1/（1十x）x-ln（1十x）/x²]
→e. [1/（1十x）x-x/x²]
=e.[1/（1十x）-1]/x
=e.（-x）/x（1十x）
=-e/（1十x）
使用了ln（1十x）与x是等价无穷小的关系，
ln（1十x）/x→1/（1十x）→1

同理
（1十2x）^（1/2x）
=e^ln（1十2x）/2x
求导=
e^ln（1十2x）/2x.[2/2x（1十2x）-ln（1十2x）/2x²]
→e. [2/2x（1十2x）-2x/2x²]
= e. [1/x（1十2x）-1/x]
=e.[1/（1十2x）-1]/x
=e（-2x）/x（1十2x）
=-2e/（1十2x）
=-2e

Answer 3

自己的做法里使用的无穷小替换，这必须要求分子分母同阶替换才可以。
解答中的洛必达法则是ok的，也是这种复杂极限的万能工具

追问

解答我看不懂 所以我从第二个等号开始就错了对吗

追答

从第一个等号开始就错了
sinx~x，你这是默认按照一阶无穷小在替换
答案就是采用洛必达法则求得
第一项是（1+x）^(1/x)求导得到的

追问

分母的sinx求导为cosx为什么没了呢

追答

x->0,cos(x)->1

Answer 4

答案的解析就是直接对原式使用洛必达法则，分子分母同时求导，另外洛必达法则是没有同阶的要求的，只要分子分母同时趋于0或无穷即可。