Question

求函数f(x)=lnx按x-2的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式。

书本答案是
lnx=ln2+1/2(x-2)-1/2³(x-2)²+…
问1 :ln2的2是怎么来的？
问2 :我将泰勒公式中的求导带进去，为什
么求不出1/2³
请老师求解！！！

Answer 1

可以考虑泰勒公式：

8个常用泰勒公式如下：

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。

泰勒公式的应用

(1)应用泰勒中值定理(泰勒公式)可以证明中值等式或不等式命题。

(2)应用泰勒公式可以证明区间上的函数等式或不等式。

(3)应用泰勒公式可以进行更加精密的近似计算。

(4)应用泰勒公式可以求解一些极限。

(5)应用泰勒公式可以计算高阶导数的数值。

Answer 2

lnx=ln(2+(x-2))=ln2(1+(x-2)/2)=ln2+ln(1+(x-2)/2)后面第二项能按照ln(1+t)展开成泰勒公式，前面那个ln2就不动。

f＇（x）＝1／x，

f＇＇（x）＝－1／（x＾2）

fn＇（x）＝（－1）＾（n＋1）·（n－1）！·x＾（－n）

lnx＝ln2（1＋（x－2）／2）=ln2＋（x－2）／2－（（x－2）＾2）／2！·4＋．．．＋（－1）＾（n＋1）！·2＾（－n）（x－2）＾n／n！＋ o［（（x－2）＾n）］

扩展资料：

泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。

参考资料来源：百度百科-泰勒公式

Answer 3

lnx=ln(2+(x-2))=ln2(1+(x-2)/2)=ln2+ln(1+(x-2)/2).后面第二项能按照ln(1+t)展开成泰勒公式，前面那个ln2就不动。