f(x)=1/(x+1)-1=-1/(1-t)=-(1+t+t 2+.t")t=x+1
泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。
它来自于微积分的泰勒定理，如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
f(x)函数的解法有解析式法、列表法、图像法。
一、解析式法。用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析式法。这种方法的优点是能简明、准确、清楚地表示出函数与自变量之间的数量关系；缺点是求对应值时往往要经过较复杂的运算。
二、用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。这种方法的优点是通过表格中已知自变量的值，可以直接读出与之对应的函数值；缺点是只能列出部分对应值。
三、把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。这种表示函数关系的方法叫做图象法。
f(x)在a点处展开的泰勒公式是：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+...+f[n](a)(x-a)^n/n!+Rn(x)
（f[n](x)表示f(x)的n阶导函数）
拉格朗日余项Rn(x)=f[n+1](a+θ(x-a))*(x-a)^(n+1)/(n+1)!
如果希望按照(x+1)的幂展开，就是令上面中的a=-1，上面的泰勒展开公式和拉格朗日余项将分别变成：
f(x)=f(-1)+f'(-1)(x+1)/1!+f''(-1)(x+1)²/2!+...+f[n](-1)(x+1)^n/n!+Rn(x)①
Rn(x)=f[n+1](θ(x+1)-1)*(x+1)^(n+1)/(n+1)!②
现已知f(x)=1/x，也即：f(x)=x^(-1)，其各阶导函数是：
f'(x)=(-1)x^(-2)=(-1)(1!)x^(-2)
f''(x)=(-1)(-2)x^(-3)=(-1)²(2!)x^(-3)
f[3](x)=(-1)(-2)(-3)x^(-4)=(-1)³(3!)x^(-4)
...
f[n](x)=(-1)^n*(n!)*x^(-(n+1))③
如果令其中的x=-1，则对任意k阶导数，都有：
f[k](-1)=(-1)^k*(k!)*(-1)^(-(k+1))=(k!)(-1)^(k-(k+1))=-n!
即：f[k](-1)/(k!)=-1都是常数，与k无关。
所以公式①中各个相加的单项式中，除了首项f(-1)和尾项Rn(x)之外，
其余的每个单项式中，分子的导数部分与分母的阶乘部分正好相约成-1，于是公式①可简化成：
f(x)=f(-1)-(x+1)-(x+1)²-(x+1)³...-(x+1)^n+Rn(x)
=-1-(x+1)-(x+1)²-(x+1)³...-(x+1)^n+Rn(x)
其中的Rn(x)，通过③式所示通项公式，也可由公式②简化为：
Rn(x)=(-1)^(n+1)(θ(x+1)-1)^(-(n+2))*(x+1)^(n+1)
扩展资料
求极限基本方法有
1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；
2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化；
3、运用两个特别极限；
4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。
5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。
可以考虑泰勒公式，详情如图所示
