Question

当x趋于零时 ，以x为基本无穷小，根号下x²+1 - 根号下1-x² 的无穷小的阶是什么求详细过程

求推导过程

Answer 1

可以推导出是关于x（当x→0时）
的二阶无穷小！

Answer 2

Answer 3

比较无穷小、无穷大的阶，用比值极限法：

lim（x-->0)[√（x²+1）-√（1-x²)]/x,0/0型，可以用洛必达，因为是根式，也可用化差为和，约分法(约去为0因子）。
第一种方法：
=lim（x-->0)[(1/2)2x/√（x²+1）-(1/2)(-2x)/√（1-x²)]
=lim（x-->0)[x/√（x²+1）+x/√（1-x²)]
=0，分子的阶高于分母。
第二种方法：
分子分母同时乘以[√（x²+1）+√（1-x²)]，利用（a+b）（a-b）=a²-b²的公式：
=lim（x-->0)[(x²+1）-（1-x²）]/x[√（x²+1）+√（1-x²)]
=lim（x-->0)2x²/x[√（x²+1）+√（1-x²)]
=lim（x-->0)2x/[√（x²+1）+√（1-x²)]
=0