Question

关于数列的数学难题

设{an}是由正数组成的等差数列，{bn}是由正数组成的等比数列，且a1＝b1, 若存在某个自然数m使得a2m＋1＝b2m＋1，则必有（ ）。

（A）am＋1>bm＋1 （B）am＋1≥bm＋1

（C）am＋1＝bm＋1 （D）am＋1≤bm＋1

请给出详细的解题过程，谢谢

Answer 1

根据等差数列与等比数列的性质：
a1+a(2m+1)=2a(m+1); b1*b(2m+1)=b(m+1)^2.
因为 a1=b1，a(2m+1)=b(2m+1)，所以
a(m+1)
=[a1+a(2m+1)]/2
=[b1+b(2m+1)]/2 (由均值不等式)
>=根号[b1*b(2m+1)]
=根号[b(m+1)^2]
=b(m+1)
即 a(m+1)>=b(m+1). 选B.

Answer 2

解：am+1=(a1+a2m+1)/2 bm+1=(b1*b2m+1)^1/2=(a1*a2m+1)^1/2
因为a^2+b^2>=2ab
所以a1+a2m+1>=2(a1*a2m+1)^1/2
所以选B

Answer 3

am+1=(a1+a2m+1)/2 bm+1=(b1*b2m+1)的1/2次方=(a1*a2m+1)的1/2次方
因为他们都是正数根据均值不等式可得

am+1=(a1+a2m+1)/2>或= bm+1=(b1*b2m+1)的1/2次方=(a1*a2m+1)的1/2次方