Question

单射和满射的具体函数实例

Answer 1

最近看的一篇论文里出现了partial map的概念，用我的散装英文乍一翻译——“部分映射”?
印象中高中和大一的高数书里都讲过，但一些概念已经忘差不多了)，索性重新熟悉一下

维基百科里给出的是一个很相似的英文词汇，partial function。以上两张图分别是partial function和total function。维基百科里给出的定义是，如果X’ = X，是total function；否则是partial function。到这里已经清楚了，论文里partial map大概是个什么意思。【应该是查询图H(包含多个子图)，并不是所有的子图在原始网络G中都能找到对应的映射值】

既然查到这儿了，顺便学习总结一下数学中映射的概念：
映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。【一个x只能对应一个y，但多个x可以对应一个y】
partial function，对于X中的值，可以有x1在Y中找不到相应的映射。
total function，X中所有的值，xi在Y中都能找到相应的映射。
injective，单射。指将不同的变量映射到不同的值的函数。例如，指数函数exp：R → R+：x → e^x（e的x次方）是单射的。自然对数函数ln：(0，+∞) → R：x → ln x也是单射的。
onto，满射。指陪域等于值域的函数。即：对陪域中任意元素，都存在至少一个定义域中的元素与之对应。
这里解释下，陪域。

映射定义为集合A到B的对应关系，并且满足对于每一个A中的元素（原象）都存在惟一的B中的元素（象）与之对应。
那么我们把A称为这个映射的定义域，把B称为陪域。 把B中的一个特殊的子集：所有A中元素在B中的象的集合叫做值域。 所以，形象地说
值域就是象集合，陪域是包含值域的任意集合。陪域>值域

bijective，双射（也称一一对应）：既是单射又是满射的函数。直观地说，一个双射函数形成一个对应，并且每一个输入值都有正好一个输出值以及每一个输出值都有正好一个输入值。 （在一些参考书中，“一一”用来指双射，但是这里不用这个较老的用法。）

Answer 2

映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。【一个x只能对应一个y，但多个x可以对应一个y】
partial function，对于X中的值，可以有x1在Y中找不到相应的映射。
total function，X中所有的值，xi在Y中都能找到相应的映射。
injective，单射。指将不同的变量映射到不同的值的函数。例如，指数函数exp：R → R+：x → e^x（e的x次方）是单射的。自然对数函数ln：(0，+∞) → R：x → ln x也是单射的。
onto，满射。指陪域等于值域的函数。即：对陪域中任意元素，都存在至少一个定义域中的元素与之对应。
这里解释下，陪域。

映射定义为集合A到B的对应关系，并且满足对于每一个A中的元素（原象）都存在惟一的B中的元素（象）与之对应。
那么我们把A称为这个映射的定义域，把B称为陪域。 把B中的一个特殊的子集：所有A中元素在B中的象的集合叫做值域。 所以，形象地说
值域就是象集合，陪域是包含值域的任意集合。陪域>值域

bijective，双射（也称一一对应）：既是单射又是满射的函数。直观地说，一个双射函数形成一个对应，并且每一个输入值都有正好一个输出值以及每一个输出值都有正好一个输入值。 （在一些参考书中，“一一”用来指双射，但是这里不用这个较老的用法。）

Day215:映射——单射-双射-满射

Answer 3

函数是数集到数集映射，并且这个映射是“满”的。即满映射f: A→B是一个函数，其中原像集A称做函数的定义域，像集B称做函数的值域。
“数集”就是数字的集合，可以是整数、有理数、实数、复数或是它们的一部分等等。
“映射”是比函数更广泛一些的数学概念，它就是一个集合到另一个集合的一种确定的对应关系。即，若f是集合A到集合B的一个映射，那么对A中的任何一个元素a，集合B中都存在唯一的元素b与a对应。称a是原像，b是像。写作f: A→B，元素关系就是b = f(a).
一个映射f: A→B称作“满”的，就是说对B中所有的元素，都存在A中的原象。 在函数的定义中不要求是满射，就是说值域应该是B的子集。（这个定义来源于一般中学中的讲法，实际上许多数学书上并不一定定义函数是满射。）
象集中每个元素都有原象的映射称为满射 ：即B中的任意一元素y都是A中的像，则称f为A到B上的满射，强调f(A)=B（B的原象可以多个）。
原象集中不同元素的象不同的映射称为单射 ：若A中任意两个不同元素x1≠x2,它们的像f(x1)≠f(x2)，则称f为A到B的单射，强调f(A)是B的子集。

Answer 4

单射就是只能一对一，不能多对一

满射只要Y中的元素在X中都能找到原像就行了(一对一，多对一都行).

双射就是既是单射又是满射(一个对一个,每个都不漏掉).

f:z-z   f(x)=3x;单射

 f; z-n;  f(x)=|x|+1;  满射

f  r-r;   f(x)=x^3+1;单射

f;n*n-n;   f(x1,x2)=x1+x2+1；满射

f;n-n*n, f(x)=(x,x+1),单射

Answer 5

双射即是一一映射,也就是一一对应,如f(x)=x即是实数集到实数集的一一映射,也就是双射.
A到B的满射指A的象集等于B,举个例子R到{0,1}的映射f(x)=0不是满射,而R到{0}的映射是满射
单射,如{1,2,3}到{4,5,7,6}的映射1→4;
2→5;
3→6就是单射,而1→4,;2→4;3→7这一映射不是{1,2,3}{4,5,6,7}的单射.当然,以上两例都不是{1,2,3}到{4,5,7,6}的满射