Question

数学问题:已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0相交于P,Q两点

1,已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0相交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径 答案:(-1/2,3),r=5/2 2,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y-1=0交于M,N两点,且OM⊥ON(为坐标原点) (1)求证:椭圆过定点 (2)若椭圆的离心率在[√3/3,√2/2]上变化时,求椭圆长轴的取值范围 答案:√5≤2a≤√6

Answer 1

1,已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0相交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径
解：
由圆方程x^2+y^2+x-6y+m=0得
(x
+
1/2)^2
+
(y
-
3)^2
=
37/4
-
m
所以该圆的圆心坐标为（-1/2，3）
设P点坐标为（x1，y1），Q点坐标为（x2，y2）。
OP^2
=
x1^2
+
y1^2
OQ^2
=
x2^2
+
y2^2
PQ^2
=
(x2
–
x1)^2
+
(y2
–
y1)^2
因为OP⊥OQ
所以，有OP^2
+
OQ^2
=
PQ^2
代入化简得
x1*
x2
+
y1*y2
=
0
1、
由直线方程x+2y-3=0得y
=
(3
-
x)/2
代入圆方程x^2+y^2+x-6y+m=0
化简得
5x^2
+
10x
+
(4m
-
27)
=
0
x1*
x2
=
(4m
-
27)/5
————————（1）
2、
由直线方程x+2y-3=0得x
=
(3
–
2y)
代入圆方程x^2+y^2+x-6y+m=0
化简得
5y^2
–
20y
+
(m
+
12)
=
0
y1*
y2
=
(m
+
12)/5
————————（2）
将（1）、（2）代入x1*
x2
+
y1*y2
=
0
解得m
=
3
代入圆方程(x
+
1/2)^2
+
(y
-
3)^2
=
37/4
-
m
37/4
-
m
=
25/4
所以圆(x
+
1/2)^2
+
(y
-
3)^2
=
25/4
的半径为5/2
2,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y-1=0交于M,N两点,且OM⊥ON(为坐标原点)
(1)求证:椭圆过定点
证明：
设M(x1,y1),N(x2,y2).则x1,x2是x^2/a^2+y^2/b^2=1和x+y=1联立方程的两个根。
联立方程得：
1、(a^2+b^2)x^2-2a^2x+a^2-a^2*b^2=0.
x1x2=(a^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2),x1+x2=2a^2/(a^2+b^2)
2、(a^2+b^2)y^2-2b^2y+b^2-a^2*b^2=0.
y1y2=(b^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2),y1+y2=2b^2/(a^2+b^2)
OA垂直OB==>x1x2+y1y2=0
整理得
a^2+b^2-2a^2*b^2=0==>b^2=a^2/(2a^2-1).
则x^2/a^2+y^2/b^2=1==>x^2/a^2+y^2(2-1/a^2)=1==>(1/a^2)*(x^2-y^2)+(2y^2-1)=0.令2y^2-1=0，x^2-y^2=0得x=y=±√2/2.
√5≤2a≤√6
e=c/a=√(a^2-b^2)/a=√(1-b^2/a^2)=√(1-1/(2a^2-1))
3/2≤2a^2-1≤2
1/3≤1-1/(2a^2-1)≤1/2
√3/3≤e≤√2/2
所以椭圆过定点(根号2/2,根号2/2)。
(2)若椭圆的离心率在[√3/3,√2/2]上变化时,求椭圆长轴的取值范围
。
解：
由（1）的结论有：a^2+b^2=2a^2b^2
===>
a^2+(a^2-c^2)=2a^2(a^2-c^2)
===>
2a^4-2a^2c^2-2a^2+c^2=0
===>
2a^2-2c^2-2+(c^2/a^2)=0（因为a>0，两边同除以a^2）
===>
2a^2-2c^2-2+e^2=0
因为：e=c/a，所以：c=ea
===>
2a^2-2(ea)^2-2+e^2=0
===>
2a^2-2e^2a^2=2-e^2
===>
2(1-e^2)a^2=2-e^2
===>
2a^2=(2-e^2)/(1-e^2)
===>
2a^2=[(1-e^2)+1]/(1-e^2)=1+[1/(1-e^2)]…………（1）
令f(e)=1/(1-e^2)
===>
f'(e)=[0-1*(-2e)]/(1-e^2)^2=2e/(1-e^2)^2>0
所以，f(e)为增函数
因为e∈[(√3)/3,(√3)/2]，所以：f(√3/3)≤f(e)≤f(√3/2)
即，3/2≤f(e)≤4
代入(1)式，就有：
===>
(3/2)+1=(5/2)≤2a^2≤1+4=5
===>
(5/4)≤a^2≤(5/2)
===>
(√5)/2≤a≤(√10)/2
椭圆的长轴为2a，所以：
√5≤2a≤√10
（注：这道题好像出过了，见http://iask.sina.com.cn/b/14811671.html）