Question

如图，△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，连接AD，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交AC与点F 求证：（1

Answer 1

证明：

因为∠acb=90°即∠bce=90°

且de⊥ab即∠bde=90°

所以，△bce和△bde都是直角三角形

在△bce和△bde中

be=be(公共边相等)，bd=bc(已知)

所以，△bce≌△bde(hl)

所以，∠ebc=∠ebd(全等三角形的对应角相等)

即∠fbc=∠fbd

因为bd=bc

所以，△cbd是等腰三角形

所以，bf是等腰△cbd的角平分线

所以，由等腰三角形的三线合一性质，得

bf既是等腰△cbd的高，又是等腰△cbd的中线

即be垂直平分cd

Answer 2

(1)
∠ABC和∠ACB的角平分线交于D，连接AD，
根据内心定理(内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。),D为△ABC的内心,
所以∠EAD=∠FAD,
∠EDA=∠FDA=90°,
因此∠AED=90°-∠EAD=90°-∠FDA=∠AFD;
∠AED=∠EBD+∠EDB,
∠AFD=∠FCD+∠FDC,
即∠EBD+∠EDB=∠FCD+∠FDC,...(1)
又∠BDC+∠EDB+∠FDC=180°,
∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°,
所以∠EDB+∠FDC=∠DBC+∠DCB,
即∠EDB+∠FDC=∠EBD+∠FCD,[∠DBC=∠EBD,∠DBC=∠FCD]...(2)
(1)+(2):
∠EBD+∠EDB+∠EDB+∠FDC=∠FCD+∠FDC+∠EBD+∠FCD,
2∠EDB=2∠FCD,
∠EDB=2∠FCD/2=∠ACB/2,
即∠BDE=∠ACB/2.
(2)
由第(1)问的解答∠BDE=∠ACB/2=∠DCF=∠BCD.
由第(1)问的解答中的式(1)∠EBD+∠EDB=∠FCD+∠FDC可得:
∠EBD=∠FCD+∠FDC-∠EDB=∠DCF+∠FDC-∠BDE=∠FDC;
即∠EBD=∠FDC=∠DBC,
∠BED=180°-∠BDE-∠EBD,
∠DFC=180°-∠DCF-∠FDC,
∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC,
所以∠BED=∠DCF=∠BDC,
因此△BED∽△DFC∽△BDC
,[AAA]