Question

一个齐次方程的通解2y''+y'-y=2e^x

Answer 1

齐次特征方程
2r^2+r-1=0
(2r-1)(r+1)=0
r=-1/2,r=-1
因此齐次通解是y=c1e^(-x/2)+c2e^(-x)
设非齐次特解是y=ae^x
y'=ae^x
y''=ae^x
2ae^x+ae^x-ae^x=2e^x
a=2
所以特解是y=2e^x
所以非齐次通解是y=c1e^(-x穿护扁咎壮侥憋鞋铂猫/2)+c2e^(-x)+2e^x

Answer 2

特征方程是2λ²+λ-1
=
0
特征根是λ1
=
-1，λ2
=
1/2
故2y''+y'-y=0的通解是y
=
C1e^(-x)
+
C2e^(x/2)
由于原方程右端是e^x，x系数是1，不是特征根
所以原方程的解有如下形式
y=ke^x
代入原方程，解得k=1
原方程的一个特解是y=e^x
故原方程通解是y
=
C1e^(-x)
+
C2e^(x/2)
+
e^x

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示