Question

连续性随机变量x的概率密度函数为f(x)，如图所示，求常数c；随机变量x的分布函数；计算p{-1}？

连续性随机变量x的概率密度函数为f(x)，如图所示，求常数c；随机变量x的分布函数；计算p{-1≤x≤√2/2}。





Answer 1

详细过程是，(1)，根据概率密度的性质，有∫(-∞,∞)f(x)dx=1。∴1=c∫(0,1)dx/√(1-x²)。而，∫(0,1)dx/√(1-x²)=arcsinx丨(x=0,1)=π/2。∴c=2/π。
(2)x<0时，F(x)=∫(-∞,0)f(x)dx=0；0≤x<1时，F(x)=∫(-∞,x)f(x)dx=F(0)+∫(0,x)f(x)dx=(2/π)arcsinx；x≥1时，F(x)=∫(-∞,∞)f(x)dx=F(1)+∫(x,∞)f(x)dx=1。
∴X的分布函数F(x)=0，x<0；F(x)=(2/π)arcsinx，0<x<1；F(x)=1，x≥1。
(3)，P[-1≤x≤(√2)/2]=F(√2/2)-F(-1)=F(√2/2)=(2/π)arcsin(√2/2)=1/2。
供参考。