Question

（2013?潮州二模）如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD=13DB，点C为圆O上一点，且BC=3

Answer 1

解答：解析：（1）连接OC，由AD=
1
3
BD知，点D为AO的中点，
又∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC，
∵
3
AC=BC，∴∠CAB=60°，
∴△ACO为等边三角形，∴CD⊥AO．
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
∴PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，
∴PD⊥CD，PD∩AO=D，
∴CD⊥平面PAB，PA?平面PAB，
∴PA⊥CD．
（2）过点D作DE⊥PB，垂足为E，连接CE，
由（1）知CD⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴CD⊥PB，又DE∩CD=D，
∴PB⊥平面CDE，又CE?平面CDE，
∴CE⊥PB，
∴∠DEC为二面角C-PB-A的平面角．
由（1）可知CD=
3
，PD=BD=3，
∴PB=3
2
，则DE=
PD×BD
PB
=
3
2
2
，
∴在Rt△CDE中，tan∠DEC=
CD
DE
=
6
3
，
∴cos∠DEC=
15
5
，即二面角C-PB-A的余弦值为
15
5
．