Question

求数列An=n(n+1)的前n项和

Answer 1

解，An=n(n+1)=n^2+n,所以An的前n项和等于n^2的前n项和加上1+2+3+........+n 的和，由n^2的前n项和：an=n^2
(用立方差公式构造，叠加）
∵
(n+1)^3-n^3
=(n+1-n)[(n+1)^2+(n+1)n+n^2]
(立方差公式）
=3n^2+3n+1
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
∴2^3-1^3=3×1^2+3×1+1

3^3-2^3=3×2^2+3×2+1

4^3-3^3=3×3^2+3×3+1
.........................................
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
将上面n个等式两边相加：
（n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+..........+n^2)+3(1+2+3+.....+n)+n

n(n^2+3n+3)=3(1^2+2^2+3^2+..........+n^2)+3(n+1)n/2+n

∴3(1^2+2^2+3^2+..........+n^2)

=n(n^2+3n+3)-3(n+1)n/2-n

=n/2[(2n^2+6n+6)-3(n+1)-2]

=n/2(2n^2
+3n+1)

=n(n+1)(2n+1)/2
∴1^2+2^2+3^2+..........+n^2

=n(n+1)(2n+1)/6
因为1+2+3+.......+n=(n+1)n/2
所以An=n^2+n=n(n+1)(n+2)/3

Answer 2

Sn=1*2+2*3+3*4+.....+n（n+1）
则Sn/2=C22+C32+C42+...+C（n+1）2
（C22等为组合数，前一个数为下标，后一个数为上标）

=C33+C32+C42+....+C(n+1)2

=C(n+2)3
所以Sn=n（n+1）（n+2）/3
由于组合数不好打出来，希望你能看懂。希望采纳

Answer 3

An=n(n+1)=n²+n，由自然数求和公式：
1+2+3+...+n=n(n+1)/2；
1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6；
得到

A1+A2+...+An=（1²+2²+...+n²）+（1+2+3+...+n）=n(n+1)(2n+1)/6
+n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/3.

Answer 4

an=1/n（n+1）=1/n-1/(n+1)
a1=1/1-1/2
a2=1/2-1/3
...
an=1/n-1/(n+1)
左右两边分别相加：
左边＝Sn
右边＝1/1-1/2+1/2-...+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)=n/(n+1)
即
Sn=n/(n+1)