Question

在四边形ABCD中,AD‖BC,∠B+∠C=90°,E,F分别是AD,BC的中点,且AD=4,BC=10求EF的长

Answer 1

解：过点D作AB的平行线，交BC于点G，则CG＝BC－AD＝6
过点D作EF的平行线，交BC于点H，则FH＝2
∵
CF＝5，∴
CH＝CF－FH＝3
∴
GH＝HC＝3，即点H为CG的中点
∵
∠B＋∠C＝90°
∴
∠DGC＋∠DCG＝90°
∴
∠CDG＝90°
∴
DH为Rt△CDG斜边CG上的中线
∴
DH＝1/2·CG＝3
即
EF＝3

Answer 2

延长BA、CD交于点P，显然PEF共线。
则∠BPC=90°，所以PF=BF=CF=5.
AD‖BC所以△PAD相似于△PBC
PE：PF=AD：BC
所以PE=2，EF=3.
如果需要PEF共线的证明我可以再写出来。

Answer 3

过点E作EG//AB交BC于G，作EH//CD交BC于H，则∠B=∠EGC，∠C=∠EHB．
又∵∠B+∠C=90°，∴∠EGC+∠EHB=90°，
∴∠GEH=90°．
∵AD//BC，∴四边形ABGE和四边形EHCD都是平行四边形．
∴AE=BG，ED=HC，又∵AE=ED，BF=FC，
∴BG+HC=AD，GF=FH，BC-AD=GH，
∵E、F分是上、下底的中点，∴GH=FH．又∵∠GEH为直角，
∴EF是直角三角形斜边的中线，∴，（直角三角形的性质）
∴EF=1/2(BC-AD)=3

Answer 4

EF=3
过A,D分别做BC的垂线，交BC于M，N，由于AD‖BC，E,F分别是AD,BC的中点,可以得出EF垂直AD，BC。所以AM=DN=EF。又由于,∠B+∠C=90°，可以证明ABM和DNC全等，故有AM/NC=BM/DN,即AM*DN=NC*BM,又因为NC=BM=（10-4）/2=3,所以EF=AM=3

Answer 5

设一个梯形，上底小，下底大。上底由左至右为A,D
下底由左至右为B、C
AD中点为E，BC中点为F。
做EM//AB，EN//CD
，分别交BC于M、N
则角B=角EMN，角C=角ENM，且AE=BM，ED=NC
因为B+C=90度。
所以角EMN+角ENM=90度
所以三角形EMN为直角三角形
因为BF=FC
BM=AE
NC=ED
AE=ED
所以BM=NC
所以MF=FN
所以F点为线段MN的中点
又因为MEN为直角三角形
斜边上的中线等于斜边的一半,所以EF=1/2MN
而MN=BC-BM-NC=BC-AE-ED=BC-（AE+ED）=BC-AD
所以EF=1/2（BC-AD）=1/2(10-4)=3
我这个做法不用证共线的