Question

设n为任意整数，试证明n(n+1)(2n+1)是6的倍数

Answer 1

n(n+1)(2n+1)/6
=1^2+2^2+....+n^2
公式法
如果不知道公式你还可以这样做
因为n与(n+1)一奇一偶
所以n(n+1)(2n+1)总是2的倍数
如果n=3k
3可以整除n=3k
所以n(n+1)(2n+1)是3的倍数
n=3k+1
3可以整除2n+1=6k+3
所以n(n+1)(2n+1)是3的倍数
n=3k+2
3可以整除n+1=3k+3
所以n(n+1)(2n+1)是3的倍数
所以n(n+1)(2n+1)总是3的倍数
所以n(n+1)(2n+1)是6的倍数

Answer 2

n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(n-1+n+2)=(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)
而
n-1
n
n+1是连续的三个整数，其中必有一个是3的倍数，至少有一个是2的倍数
所以（n-1)n(n+1)是6的倍数
同理
n(n+1)(n+2)也是6的倍数
他们的和
n(n+1)(2n+1)也是6的倍数