Question

数论问题：设n为正整数，证明：6 | n(n + 1)(2n +1)。

Answer 1

解：

若n为偶数，则n(n+1)(2n+1)是偶数若n为奇数，则n+1是偶数，所以n(n+1)(2n+1)是偶数在证这个数能被3整除，若n被3整除，则n(n+1)(2n+1)能被3整除若n被3除余1，则2n+1能被3整除。

所以n(n+1)(2n+1)能被3整除若n被3整余2，则n+1能被3整除，所以n(n+1)(2n+1)能被3整除所以6|n(n+1)(2n+1)。

数论简介：

数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解。有些解析函数中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数。

按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具，它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。

Answer 2

若n为偶数，则n(n
+
1)(2n
+1)是偶数
若n为奇数，则n+1是偶数，所以n(n
+
1)(2n
+1)是偶数
在证这个数能被3
整除
，
若n被3整除，则n(n
+
1)(2n
+1)能被3整除
若n被3除余1，则2n+1能被3整除，所以n(n
+
1)(2n
+1)能被3整除
若n被3整余2，则n+1能被3整除，所以n(n
+
1)(2n
+1)能被3整除
所以6
|
n(n
+
1)(2n
+1)

Answer 3

证, 令k为整数, k≥0

n(n+1)为连续的两个自然数, 必一奇一偶, 故2|n(n+1), 2|n(n+1)(2n+1).
当n=3k时, 3|n, 则3|n(n+1)(2n+1),
当n=3k+1时, 3|n+2, 则3|n(n+1)(2n+1).
当n=3k+2时,3|n+1, 则3|n(n+1)(2n+1).
综上, n为正整数时, 6|n(n+1)(2n+1).