Question

数列求和公式 n^2*a^(n-1)

Answer 1

是An=n^2*a^(n-1)吧？
一楼和二楼都不怎么厚道啊。这不是等差数列，不能用等差数列求和，但可转化为等差或等比数列的和来求。
Sn=Sigma(i=1,n)[An]=Sigma(i=1,n)[n^2*a^(i-1)]
=Sigma(i=1,n)[1^2*a^(i-1)]+Sigma(i=2,n)[(2^2-1^2)*a^(i-1)]
+Sigma(i=3,n)[(3^2-2^2)*a^(i-1)]+…………
=Sigma(j=1,n)[Sigma(i=j,n)[(j^2-(j-1)^2)*a^(i-1)]]
=Sigma(j=1,n)[Sigma(i=j,n)[(2j-1)*a^(i-1)]]
=Sigma(j=1,n)[(2j-1)*a^(j-1)*(1-a^(n-j))/(1-a)]
（等比数列求和）
=1/(1-a)*Sigma(j=1,n)[(2j-1)*{a^(j-1)-a^(n-1)}]
=1/(1-a)*{Sigma(j=1,n)[(2j-1)*a^(j-1)]-Sigma(j=1,n)[(2j-1)*a^(n-1)}]
其中后一个求和是一个等差数列，可用等差数列求和公式求出，前一个求和是
形如
An=n*a^n
的求和，可转化为
n个等比数列求和式的和，即
Sigma(i=1,n)[i*a^i]=Sigma(i=1,i)[a^i]+Sigma(i=2,n)[a^i]+…………
=Sigma(j=1,n)[Sigma(i=j,n)[a^i]]
(内层是等比求和）
=Sigma(j=1,n)[{a^j-a^n}/(1-a)]
=1/(1-a)*{Sigma(j=1,n)[a^j]-Sigma(j=1,n)[a^n]}
这两项求和一个是等比一个是等差，故可求出。
至此问题转化为已知问题（等差和等比求和），故可求出（往下具体运算从略）

Answer 2

已知数列an满足a1=1,而2a(n-1)
2^n(n>=2,且n属于n
)什么意思，且平白无故一个2a(n-1)
2^n是什么啊
你的题目还是没搞好吧？2a(n-1)
2^n=？，是an么
(1)2a(n-1)
2^n=an
(n>=2)
(2a(n-1)
2^n)/2^n=an/2^n
a(n-1)/2^(n-1)
1=an/2^n
(n>=2)
当n=2时,a2/2^2=3/2
a1/2^1=1/2
因此综上：(an/2^n)是首项为1/2，公差为1的等差数列
（2）由上题可知：(an/2^n)是首项为1/2，公差为1的等差数列
则an/2^n=1/2
n-1=n-1/2
因此an=n×2^n-2^(n-1)
因此得an的通项公式：an=n×2^n-2^(n-1)
（3）先不管an通项中后面2^(n-1)，只考虑前面部分，对其求和：
sn1=1×2^1
2×2^2
3×2^3
……(n-1)×2^(n-1)
n×2^n
2sn1=
1×2^2
2×2^3
……(n-2)×2^(n-1)
(n-1)×2^n
n×2^(n
1)
因此2sn1-sn1=sn1=-(2^1
2^2
2^3……
2^(n-1)
2^n)
n×2^(n
1)=2(1-2^n)
n×2^(n
1)
再看后几项求和：tn=-(2^n-1)=1-2^n
因此sn=tn
sn1=n×2^(n
1)
3(1-2^n)
因此sn/2^n=n×2-3
3/2^n=2n-3
3/2^n
又因为3/2^n>0
因此sn>2n-3得证
望楼主满意，给个分吧，以后记得把题目抄全了，这样也不会影响到你
由第一题不是得（an/2^n）是等差数列么，已知首项跟公差，就写出来了啊

Answer 3

用S表示前N项和
S=1+4a+9a^2+16a^3+
…
+[(n-1)^2]*a^(n-2)+(n^2)*a^(n-1)
①
aS=a+4a^2+9a^3+16a^4+
…
+[(n-1)^2]*a^(n-1))+(n^2)*a^n
②
①-②得：
(1-a)S=1+3a+5a^2+7a^3+
…
+(2n-3)*a^(n-2)+(2n-1)*a^(n-1)-(n^2)*a^n
③
a(1-a)S=a+3a^2+5a^3+7a^4+
…
+(2n-3)*a^(n-1)+(2n-1)*a^n-(n^2)*a^(n+1)
④
③-④得：
(1-a)^2*S=1+2a+2a^2+2a^3+2a^4+
…
+2a^(n-1)+(n-1)^2*a^n+(n^2)*a^(n+1)
(1-a)^2*S=1+2[a+a^2+a^3+a^4+
…
+a^(n-1)]+(n-1)^2*a^n+(n^2)*a^(n+1)
(1-a)^2*S=1+2a[1-a^(n-1)]/(1-a)+(n-1)^2*a^n+(n^2)*a^(n+1)
S={1+2a[1-a^(n-1)]/(1-a)+(n-1)^2*a^n+(n^2)*a^(n+1)}/(1-a)^2
剩下的自己整理吧。。。打的好辛苦哦。。。
用两次错位相消法