Question

在△ABC中，已知角A,B，C的对边分别为a,b,c,且bcosB＋ccosC=acosA,试判断△ABC的形状

Answer 1

因为
bcosB＋ccosC＝acosA，
由正弦定理得：sinBcosB＋sinCcosC＝sinAcosA，
即sin2B＋sin2C＝2sinAcosA，
所以2sin(B＋C)cos（B－C）＝2sinAcosA
因为
A＋B＋C＝π，∴sin（B＋C）＝sinA
而sinA≠0
cos（B－C）＝cosA，即cos（B－C）＋cos（B＋C）＝0
所以
2cosBcosC＝0
因为
0＜B＜π，0＜C＜π，
所以B＝90
或C＝
90
即△ABC是直角三角形

参考:

令k=a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以a=ksinA
b=ksinB
c=ksinC
代入acosA+bcosB=ccosC，并约去k
sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
sin2A+sin2B=2sinCcosC
sin[(A+B)+sin(A-B)]+sin[(A+B)-sin(A-B)]=2sinCcosC
sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)+sin(A+B)cos(A-B)-cos(A+B)sin(A-B)=2sinCcosC
2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC
sin(A+B)=sin(180-C)=sinC
所以cos(A-B)=cosC
所以A-B=C
A=B+C
所以A=90
所以是直角三角形