Question

函数在一个区间内是单调函数,则需满足什么条件?

Answer 1

一般地，设函数f(x)的定义域为I：
　　如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1
f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。
　　如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=
f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。
　　注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；
　　（2）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念；
　　（3）判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤有两种主要方法：
　　1）定义法
　　a.设x1、x2∈给定区间，且x1
，则得到了更严格的要求。有这样性质的函数叫做严格递增的。还有通过反转序符号，可以得到对应的严格递减。严格递增或递减的函数是一一映射
(因为
a
<
b
蕴涵
a
\neq
b
)。
　　要避免把术语非递减和非递增混淆于严格递增和严格递减。
　　[编辑]序理论中的单调性
　　在序理论中，不限制于实数集合，可以考虑任意偏序集合甚至是预序集合。在这些情况下上述定义同样适用。但是要避免术语"递增"和"递减"，因为一旦处理的不是全序的次序就没有了吸引人的图像动机。进一步的，严格关系
<
和
>
在多数非全序的次序中很少使用，因此不介入它们的额外术语。
　　单调(monotone)函数也叫做
isotone
或序保持函数。对偶概念经常叫做反单调、antitone
或序反转。因此，反单调函数
f
满足性质
　　x
≤
y
蕴涵
f(x)
≥
f(y)，
　　对于它的定义域中的所有
x
和
y。容易看出两个单调函数的复合也是单调的。
　　常数函数是单调的也是反单调的；反过来，如果
f
是单调的也是反单调的，并且如果
f
的定义域是格，则
f
必定是常量函数。
　　单调函数是序理论的中心。它们大量出现于这个主题的文章和在这些地方的找到的应用中。著名的特殊单调函数是序嵌入(x
≤
y
当且仅当
f(x)
≤
f(y)
的函数)和序同构(双射