Question

f(x)=ax3+bx2+cx的极小值为-8 其导数过点(-2，0）（2/3，0）

1求得解析式
2若对x属于[-3,3]都有f(x)大于等于m2-14m恒成立,求实数m的取值范围

Answer 1

解：（1）∵f'（x）=3ax2+2bx+c，且y=f'（x）的图象经过点（-2，0），(2/3，0)，
∴2+2/3=2b/3a①， -2*2/3=c/3a② ，①②联立 ⇒ b=2a， c=-4a
∴f（x）=ax3+2ax2-4ax，
由图象可知函数y=f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在(-2，2/3)上单调递增，在(2/3，+∞)上单调递减，
由f（x）极小值=f（-2）=a（-2）3+2a（-2）2-4a（-2）=-8，解得a=-1

∴f（x）=-x3-2x2+4x

（2）要使对x∈[-3，3]都有f（x）≥m2-14m恒成立，
只需f（x）min≥m2-14m即可．

由（1）可知函数y=f（x）在[-3，2）上单调递减，在(-2，2/3)上单调递增，在(2/3，3]上单调递减，且f（-2）=-8，f（3）=-33-2×32+4×3=-33＜-8
∴f（x）min=f（3）=-33（11分）-33≥m2-14m⇒3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．

Answer 2

http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/baea15b2-59e6-4cf3-b452-3616d13f9092这个网站有正确答案

Answer 3

f'=3ax^2+2bx+c
-2 2/3 是f'=0的两个根
判断可知极小值出现在x=2/3处
结合两个条件 轻松解答出来了