Question

设f(x)=ax^3+bx^2+cx的极小值为-8，其导函数y=f`(x)的图像经过点（-2,0）和点（2//3,0),如图所示

（1）求f(x)的解析式
（2）若对x∈[-3,3]都有f(x)≥m^2-14m恒成立，求实数m的取值范围
（图为：图像的开口向下，图像与x轴交与-2，2/3两点，图像交y轴上方。）

Answer 1

f'(x)=3ax^2+2bx+c，由条件知3a(-2)^2+2b(-2)+c=0，3a(2/3)^2+2b(2/3)+c=0，另外，导函数在(负无穷，－2)和(2/3，+无穷)上<0，在(-2 2/3)上>0，因此f(x)先递减后递增又递减，-2是极小值点，于是a(-2)^3+b(-2)^2+c(-2)=-8。三个方程解出a＝－1，b＝－2，c＝4.
在【－3 3】上，f(x)先递减，后递增，再递减，f(-2)=-8,f(3)=-33，因此f的最小值是－33，要求f(x)>=m^2-14m恒成立，则m^2-14m<=-33，于是3<=m<=11