Question

设f(x)=ax^3+bx^2+cx的极小值为-8,其导函数y=f′(x)的图像开口向下且经过点(-2,0),(2/3,0)

(1)求f(x)的解析式；
（2）方程f(x)+p=0有唯一实数根，求实数p的取值范围。
主要是第2问，第一问我能做出来

Answer 1

(1) f'(x) = 3ax² + 2bx + c

f′(x)的图像开口向下, a < 0

f'(x)过(-2,0),(2/3,0)， 则可表达为f'(x) = 3a(x + 2)(x - 2/3)

展开并比较系数,得b = 2a, c = -4a

f(x) = ax³ + 2ax² - 4ax

从f'(x)的图像易知，

x < -2时，f'(x) < 0; x > -2时, f'(x) > 0, 即f(-2)为f(x)的极小值。

f(-2) = -8a + 8a + 8a = 8a = -8

a = -1

f(x) = -x³ - 2x² + 4x

(2) 

从f'(x)的图像易知，

x < 2/3时，f'(x) > 0; x > 2/3时, f'(x) < 0, 即f(2/3)为f(x)的极大值。

x趋于负无穷时，f(x)趋于正无穷；f(-2) = -8 <0, f(x)的图像与x轴在(-∞, -2)内有一个交点。

f(2/3) = 40/27 > 0; f(x)的图像与x轴在(-2, 2/3)内有一个交点。

x趋于负无穷时，f(x)趋于负,无穷, f(x)的图像与x轴在(2/3, ∞)内有一个交点。

要使f(x)+p=0只有一个实数根，只需将f(x)的图像向上平移，直到极小值点在x轴上方，即p>8

Answer 2

求出导函数 令导函数等于0 -2与2/3是它的两个根 然后-2是极小值点 所以f(-2)=-8,就可解出a,b,c,