Question

已知函数f（x）=7√3sinxcosx+7sin2x-52，x∈R．（Ⅰ）若f...

已知函数f（x）=7√3sinxcosx+7sin2x-52，x∈R． （Ⅰ）若f（x）的单调区间（用开区间表示）； （Ⅱ）若f（a2-π6）=1+4√3，f（a2-5π12）=2，求sin（a2-π3）的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得：函数f（x）=7√3sinxcosx+7sin2x-52=7√32sin2x+7×1-cos2x2-52
=7（√32sin2x-12cos2x）+1=7sin（2x-π6）+1．
令 2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2，k∈z，可得
kπ-π6≤x≤kπ+π3，k∈z，
故函数的增区间为[kπ-π6，kπ+π3]，k∈z．
令 2kπ+π2≤2x-π6≤2kπ+3π2，k∈z，可得
kπ+π3≤x≤kπ+5π6，k∈z，
故函数的减区间为[kπ+π3≤x≤kπ+5π6]，k∈z．
（Ⅱ）∵f（a2-π6）=1+4√3，
∴7sin[2（a2-π6）-π6]+1=7sin（a-π2）+1=-7cosa+1=1+4√3，
∴cosa=-4√37．
∵f（a2-5π12）=2，∴7sin[2（a2-5π12）-π6]+1=7sin[a-π]+1=-7sina+1=2，
∴sina=-17．
故a为第三象限角，且
2kπ+π＜a＜2kπ+5π4，k∈z，故 kπ+π2＜a2＜kπ+5π8，k∈z．
故 a2是第二或第四象限角．
当 a2是第二象限角时，sin a2=√1-cosa2=√7+4√314=2+√3√14，
cos a2=-√1+cosa2=-√7-4√314=-2-√3√14．
sin（a2-π3）=sin a2 cosπ3-cosa2sinπ3=2+√3√14×12-（ -2-√3√14）×√32=3√3-12√14．
当 a2是第四象限角时，sin a2=-√1-cosa2=-√7+4√314=-2+√3√14，
cos a2=√1+cosa2=√7-4√314=2-√3√14．
sin（a2-π3）=sin a2 cosπ3-cosa2sinπ3=-2+√3√14×12-2-√3√14×√32=1-3√32√14．