Question

设f(x)=ax²+x-a。g(x)=2ax+5-3a

(1)若f(x)在x∈【0,1】上的最大值是1.25，求a的值 (2)若对于任意x1属∈【0,1】，总存在x0∈【0,1】，使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范围

Answer 1

(1)这个题目有点繁琐，思路还是很清晰的，是连续函数在闭区间上的最值问题，
可能取得最大值点为f(0),f(1),f(-1/(2a))
下面就要分类分析，当f(0)为最大值时，求得a=-1.25,由二次函数的最大值位置x=-1/(2a)=0.4属于[0,1],与在x=0处取得最大值矛盾，故f(0)为最大值不成立。
当f(1)为最大值时，f(1)=1≠1.25，故x=1处f(x)取不到最大值。
只有x=-1/(2a)处可能存在最大值。带入解得a(1)=-1/4,a(2)=-1,
当a=-1/4时，-1/(2a)=2不在[0,1]内，故舍去。
得a=-1.
(2)只要满足g(x)的值域包含于f(x)的值域即可。
下面是对f(x)最值分类解题，我把方法给你，就不继续帮你计算下去了，首先应该确定x=-1/(2a)的取值在不在[0,1]内，得到分界点a=-1/2，为了确定函数的形状，得到分界点a=0，为了确定f(0)与f(1)哪儿取得最值，得到分界点-1/(2a)=1/2,得a=-1
分类讨论，a=0时，能否满足，
a>0时，g(x)值域为[5-3a,5-a]
-1/(2a)<0,最大值为f(1),最小值为f(0)，得:f(1)≥5-a,且f(0)≤5-3a，解得a的取值范围
当-1/2＜a＜0时，g(x)值域为[5-a,5-3a]最大值为f(1),最小值为f(0),计算如上;
当-1＜a≤-1/2时，最大值点为f(-1/(2a)),最小值点为f(0)，后面计算如上;
当a≤-1时，最大值点为f(-1/(2a)),最小值点为f(1)
综上计算，得到a的取值范围。
(按步骤来，随着a的取值变化，g(x)的值域也是会变化的，解题的时候注意一下)