Question

初二数学题、、高手来啊~~~~

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形． （1）求证：梯形ABCD是等腰梯形； （2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ＝60°保持不变．设PC＝x，MQ＝y，求y与x的函数关系式； （3）在（2）中： ① 当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、 D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条 件的平行四边形的个数； ② 当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

Answer 1

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
证明：
已知△MBC为等边数三角形
所以，MB=MC=BC=4，且∠MBC=MCB=60°
又，AD//BC
所以，∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°
所以，∠AMB=∠DMC=60°
已知点M为AD中点
所以，AM=DM=1
所以，在△AMB和△DMC中：
AM=DM（已证）
∠AMB=∠DMC=60°（已证）
MB=MC=4（已证）
所以，△AMB≌△DMC（SAS）
所以，AB=DC
已证梯形ABCD中AD//BC
所以，梯形ABCD为等腰梯形
（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ＝60°保持不变．设PC＝x，MQ＝y，求y与x的函数关系式；
已知△MBC为等边三角形
所以，∠MBC=60°
而，∠MBC+∠BMP=∠MPC=∠MPQ+∠CPQ
又已知∠MPQ=60°
所以，∠BMP=∠CPQ
且，∠MBP=∠PCQ=60°
所以，△MBP∽△PCQ
所以，MB/PC=BP/CQ
即，4/x=(4-x)/(4-y)
===>
4*(4-y)=x*(4-x)
===>
16-4y=4x-x^2
===>
4y=x^2-4x+16
===>
y=(x^2-4x+16)/4（0＜0＜4）
（3）在（2）中：
①
当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、
D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；
已知AD//BC，且M为AD中点
所以，AM=MD=1
显然，A、M、D、P因为A、M、D在同一直线上，它们不可能构成平行四边形。同理，B、P、C、M也不能
故，当点P在BC上，且BP=1时：
AM//==BP，DM//==BP
此时，四边形ABPM和四边形DMBP均为平行四边形
当点P在BC上，且CP=1时：
AM//==CP，DM//==CP
此时，四边形APCM和四边形DMPC均为平行四边形
综上：符合条件的平行四边形一共有4个
②
当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．
由(2)知，y=(x^2-4x+16)/4=[(x^2-4x+4)+12]/4
=[(x-2)^2+12]/4
因为(x-2)^2≥0
所以，y≥12/4=3
此时，x=2
已知BC=4
所以，点P位BC中点
已知点M位AD中点，且四边形ABCD为等腰梯形
所以，MP⊥BC
即，∠MPC=90°
已知∠MPQ=60°
所以，∠CPQ=90°-60°=30°
已知△MBC为等边三角形
所以，∠MCB=60°
所以，∠MQP=∠MCB+∠CPQ=60°+30°=90°
所以，△CPQ为直角三角形。