Question

证明:当0<x<π/2时,x<tanx<x/cos^2 (x)

x/cos^2 (x)=x/(cosx*cosx)

Answer 1

中值定理证明
不妨记f(x)=tanx,g(x)=x,且g'(x)≠0，显然两函数在[0,π/2)上满足柯西中值定理条件
则存在ξ∈(0,π/2)使得
(tanx)/x=f(x)/g(x)=[f(x)-f(0)]/[g(x)-g(0)]=f'(ξ)/g'(ξ)=1/cos²ξ
又1<1/cos²ξ<1/cos²x,其中ξ∈(0,π/2)
那么1<[tanx]/x<1/cos²x
即x<tanx<x/cos²x
命题得证。