Question

已知,.()求函数在上的最小值;()对一切,恒成立,求实数的取值范围;()证明:...

已知,. ()求函数在上的最小值; ()对一切,恒成立,求实数的取值范围; ()证明:对一切,都有成立.

Answer 1

()利用导数求单调性,比较给的区间与单调区间的关系求出最值,()分离参数,不等式恒成立转化成函数最值,()通过构造函数,利用第一问的结论求出最值证出不等式
解:(),当,,单调递减,当,,单调递增.,无解;,即时,;,即时,在上单调递增,;所以.(),则,设,则,,,单调递减,,,单调递增,所以,因为对一切,恒成立,所以;()问题等价于证明,由可知,的最小值是,当且仅当时取到,故.设,则,易得,当且仅当时取到,从而对一切,都有成立.
导数在函数中的应用:求最值,极值,参数范围,证明不等式.