Question

写出复合函数的复合过程？

高等数学 大学数学

Answer 1

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。
定义
设y是u的函数，u是x的函数，如果的值全部或部分在的定义域内，则y通过u成为x的函数，记作，称为由函数与复合而成的复合函数。[1]
如等都是复合函数。
而就不是复合函数，因为任何x都不能使y有意义。由此可见，不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数。
复合函数通俗地说就是函数套函数，是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中不一定只含有两个函数，有时可能有两个以上，如y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，则函数y=f{φ[ψ(x)]}是x的复合函数，u、v都是中间变量。[2]
定义域
若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：
⑴当为整式或奇次根式时，R的值域；
⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；
⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；
⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求
⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

Answer 2

如图，仅供参考

Answer 3

3.

(1)
y=√arccosx
y'
=(1/2)(arccosx)^(-1/2) . (arccosx)'
=(1/2)(arccosx)^(-1/2) . [-1/√(1-x^2) ]
=-1/[2.√arccosx.√(1-x^2)]
(2)
y=[cos(2-4x)]^2
y'
=2cos(2-4x).[cos(2-4x)]'
=2cos(2-4x).[-sin(2-4x)].(2-4x)'
=2cos(2-4x).[-sin(2-4x)].(-4)
=8cos(2-4x).sin(2-4x)
(3)
y=ln(lnx)
y'
=(1/lnx)(lnx)'
=(1/lnx)(1/x)
=1/[xlnx]
(4)
y=(x+2lgx)^3
y'
=3(x+2lgx)^2. (x+2lgx)'
=3(x+2lgx)^2. [1+2/(ln10x)]