Question

求积分∫（x²+y²）ds,其中L为曲线x=2（cost-tsint）,y=2(sint+tcos t)(0≤t≤2π）

Answer 1

此为沿螺旋线的积分。
准备：x^2+y^2 = 4(1+t^2)
dx = 2(-2sint-tcost) = -4(sint + tcost)dt = -2ydt; dy = 2(2cost-tsint) dt = 2xdt
ds = (dx)^2+(dy)^2 = 2√(x^2+y^2) dt
原积分 = ∫2（x²+y²)^(3/2) dt = 16 ∫[0,2pi] (1+t^2)^(3/2) dt = 6727.622
Attn: 也可以得分析解的。思路：作 t = sec u 的代换。

追问

dx = 2(-2sint-tcost) = -4(sint + tcost)dt = -2ydt; dy = 2(2cost-tsint) dt = 2xdt
这里的dx和dy是怎么算的？为什么是-2sint和2cost
ds = (dx)^2+(dy)^2 = 2√(x^2+y^2) dt
ds是怎么算的？

追答

x = 2(cos t - t sint)
x' = 2(-sint -sint - tcost) = 2(-2sint-tcost)
y = 2(sint + tcost)
y' = 2(cost + cost - tsint) = 2(2cost-tsint)

ds = √[(dx)^2+(dy)^2] = 2√(4+t^2) dt
我的化简有些乱，出了错。思路是对的。