Question

关于指数函数求极限，底数e为什么可以写在外面的问题，具体如图？

Answer 1

这是根据极限的运算法则来的。可以证明的：
设lim（x--->x0)e^f(x)=A=e^a
两边除以e^a：
lim（x--->x0)[e^f(x)/e^a]=1=e^0
lim（x--->x0)[e^[f(x)-a]]=e^0
两边取自然对数：
lim（x--->x0)[f(x)-a]=0
lim（x--->x0)f(x)=a
所以：
lim（x--->x0)e^f(x)=e^lim（x--->x0)f(x)
或者根据y=e^x的严格单调性，可以直接得到lim（x--->x0)[f(x)-a]=0

Answer 2

因为e^x是连续函数，连续函数满足
lim e^x =e^limx